+ Yorum Gönder
Yudumla ve Soru(lar) ve Cevap(lar) Bölümünden Karmaşık sayıların kutupsal gösterimi ile ilgili Kısaca Bilgi
  1. Ziyaretçi

    Karmaşık sayıların kutupsal gösterimi





  2. RüzgarGülü
    Bayan Üye





    Cevap:
    KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR


    ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &THORN; x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

    A. TANIM:
    a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
    C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
    ( i = Ö-1 &THORN; i² = -1 dir.)
    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

    Örnek:
    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
    Z2 = 2 - 3i &THORN; Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
    Z3 = Ö3 + i &THORN; Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
    Z4 = 7 &THORN; Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
    Z5 = 10i &THORN; Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

    Örnek:
    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

    Çözüm:

    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
    Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
    X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
    2a 2.1 2
    Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.







    B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

    Buna göre , n Î N olmak üzere,

    i4n = 1
    i4n + 1 = i
    i4n + 2 = -1
    i4n + 3 = -i dir.



    Örnek:
    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

    Çözüm:
    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.


    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
    Z2 = c + di }










    Örnek:
    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
    Z 2 = 8 + (a + b)i
    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

    Çözüm:
    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
    a + 3 = 8 &THORN; a = 5
    2b + 3 = a + b &THORN; 2b + 3 = 5 + b &THORN; b = 2 dir.

    Örnek:
    Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
    Z2 = 0
    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


    Çözüm:
    Z1 = Z2 olduğundan,
    a – 2 = 0 &THORN; a =2,
    a + b + 3 = 0 &THORN; 2 + b + 3 = 0 &THORN; b = -5 tir.
    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


    _
    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.



    Örnek:
    _
    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
    _
    2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
    _
    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
    _
    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
    _
    5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.

    Örnek:
    Z = a + bi olmak üzere,
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

    Çözüm:
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
    3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
    olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

    3a – 1 = 8 &THORN; 3a = 9 &THORN; a = 3 ve
    -3b = -2 &THORN; b = 2/3 tür.

    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
    Not:

    __
    1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
    .
    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
    _
    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.



    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

    1) Toplama - Çıkarma

    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).








+ Yorum Gönder
karmaşık sayıların kutupsal biçimi ile ilgili sorular,  kutupsal biçimde karmaşık sayılarla toplama çıkarma çözümlü örnek,  karmaşık sayılarda kutupsal gösterim ile ilgili çözümlü sorular,  karmaşık sayılar kutupsal gösterim çözümlü sorular,  karmaşık sayılarda ikinci dereceden kutupsal gösterimi
5 üzerinden 5.00 | Toplam : 1 kişi