+ Yorum Gönder
Yudumla ve Soru(lar) ve Cevap(lar) Bölümünden Karmaşık sayıların kutupsal gösterimi ile ilgili Kısaca Bilgi
  1. Ziyaretçi

    Karmaşık sayıların kutupsal gösterimi





  2. RüzgarGülü
    Bayan Üye





    Cevap:
    KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR


    ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &THORN; x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız

    A. TANIM:
    a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
    C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
    ( i = Ö-1 &THORN; i² = -1 dir.)
    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

    Örnek:
    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
    Z2 = 2 - 3i &THORN; Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
    Z3 = Ö3 + i &THORN; Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
    Z4 = 7 &THORN; Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
    Z5 = 10i &THORN; Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

    Örnek:
    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

    Çözüm:

    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
    Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
    X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
    2a 2.1 2
    Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.







    B. İ ‘NİN KUVVETLERİ

    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i,
    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

    Buna göre , n Î N olmak üzere,

    i4n = 1
    i4n + 1 = i
    i4n + 2 = -1
    i4n + 3 = -i dir.



    Örnek:
    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.

    Çözüm:
    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.

    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.


    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
    Z2 = c + di }










    Örnek:
    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
    Z 2 = 8 + (a + b)i
    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.

    Çözüm:
    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
    a + 3 = 8 &THORN; a = 5
    2b + 3 = a + b &THORN; 2b + 3 = 5 + b &THORN; b = 2 dir.

    Örnek:
    Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
    Z2 = 0
    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.


    Çözüm:
    Z1 = Z2 olduğundan,
    a – 2 = 0 &THORN; a =2,
    a + b + 3 = 0 &THORN; 2 + b + 3 = 0 &THORN; b = -5 tir.
    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.

    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ


    _
    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.



    Örnek:
    _
    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
    _
    2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
    _
    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
    _
    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
    _
    5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.

    Örnek:
    Z = a + bi olmak üzere,
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

    Çözüm:
    _
    3 . Z – 1 = 2(4 – i)
    3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
    3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
    olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.

    3a – 1 = 8 &THORN; 3a = 9 &THORN; a = 3 ve
    -3b = -2 &THORN; b = 2/3 tür.

    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
    Not:

    __
    1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
    .
    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
    _
    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.



    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

    1) Toplama - Çıkarma

    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).








+ Yorum Gönder

Hızlı Cevap Hızlı Cevap


:
kutupsal gosterimde cikarma
5 üzerinden 5.00 | Toplam : 1 kişi